Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




15.09.2020


15.09.2020


15.09.2020


04.09.2020


03.09.2020


03.09.2020


21.08.2020


05.08.2020


05.08.2020


05.08.2020





Яндекс.Метрика
         » » Плотнейшая упаковка шаров

Плотнейшая упаковка шаров

24.10.2017

Сначала мы рассмотрим способы, какими можно упорядоченно уложить одинаковые сферические атомы или шары, чтобы они занимали как можно меньший объем. Существует только один способ, которым можно уложить такие сферы на плоскости, чтобы они занимали минимальную площадь; он показан на рис. 3.1. В этой двумерной плотнейшей упаковке центры атомов образуют гексагональную решетку, где каждый атом окружен шестью ближайшими соседями, т. е. координационное число равно шести. Очевидно, что эти шары не могут заполнить полностью все пространство, и между ними остаются пустоты, или интерстиции. На рис. 3.1, а эти интерстиции разделены на две группы - В и С.

Чтобы получить плотнейшим образом упакованный трехмерный пакет, надо уложить поверх этого первого слоя другой такой же слой таким образом, чтобы его атомы легли поверх одного набора интерстиций. Если атомы лежат поверх интерстиций группы В, получается пакет, показанный на рис. 3.1,б. Если положения атомов в первом слое обозначить как А-позиции, то на рис. 3.1,б изображен АВ-пакет. В другом случае мог бы получиться AC-пакет, но он был бы физически неотличим от пакета АВ. Третий слой, однако, может быть уложен двумя весьма различными способами. Если атомы третьего слоя ложатся над атомами первого слоя, то последовательность пакета становится АВА, но если эти атомы располагаются над интерстициями С, то образуется пакет АВС. Продолжение этих последовательностей пакетов приводит к двум способам, какими могут быть плотнейшим образом упакованы сферические атомы, занимая наименьший объем. Мы увидим, что последовательность АВАВАВ имеет гексагональную симметрию и называется гексагональной плотнейшей упаковкой, а последовательность АВСАВС обладает кубической симметрией и поэтому называется кубической плотнейшей упаковкой.


Симметрия этих двух структур понятна лучше, если они изображены так, как показано на рис. 3.2. В гексагональной плотнейшей упаковке слои набираются вдоль оси с гексагональной элементарной ячейки, а в кубической плотнейшей упаковке перпендикулярно слоям располагается телесная диагональ кубической элементарной ячейки. Элементарные ячейки этих двух типов плотнейшей упаковки показаны на рис. 3.3.
Хотя многие металлы имеют структуры либо с кубической, либо с гексагональной плотнейшей упаковкой, нас интересуют главным образом минералы с анионными плотнейшими упаковками, в которых катионы занимают интерстиции.
Интерстициальные позиции в структурах с плотнейшей упаковкой. Существуют два типа интерстициальных позиций, получающихся при сложении двух слоев плотнейшей упаковки. Эти типы, следовательно, не зависят от последовательности слоев в пакете.
Если рассмотреть рис. 3.1,б, можно увидеть эти два типа интерстициальных позиций. Любой шар, лежащий в углублении, образованном тремя соприкасающимися шарами соседнего слоя, образует тетраэдрическую позицию (на рис. 3.1,б такие позиции обозначены точками). Центры этих четырех шаров расположены на нормалях к граням правильного тетраэдра, и любой интерстициальный атом, занимающий такую позицию, будет иметь тетраэдрическую координацию, имея ближайшими соседями шары плотнейшей упаковки. К каждому шару слоя плотнейшей упаковки примыкают две тетраэдрические позиции, одна сверху и одна снизу. Таким образом, число тетраэдрических позиций вдвое превышает число плотно-упакованных атомов независимо от типа упаковки.
Интерстициальные позиции, образующиеся между тремя шарами в одном слое и тремя в прилегающем (на рис. 3.1,б помечены крестиками), называются октаэдрическими позициями, так как эти шесть шаров располагаются по углам правильного октаэдра. Поэтому любой атом, занимающий эту интерстициальную позицию, будет иметь шестерную координацию. Число октаэдрических позиций равно числу шаров плотнейшей упаковки, и поэтому в пакете с любой последовательностью слоев число тетраэдрических позиций вдвое превышает число октаэдрических.
Размеры интерстициальных позиций. Размер интерстициальных позиций, очевидно, гораздо меньше размера шаров плотнейшей упаковки. Размер позиции обычно оценивается размером маленького шара, который может поместиться в позицию, касаясь, но не нарушая шаров плотнейшей упаковки. Если радиус шаров плотнейшей упаковки обозначить К, а интерстиции r, то из простых геометрических соображений следует, что для тетраэдрической позиции r/R = 0,225, а для октаэдрической r/R = 0,414.
Рассматривая ионные соединения как плотноупакованный пакет анионов с катионами, занимающими интерстициальные позиции, мы понимаем, что относительные размеры этих двух позиций будут накладывать ограничения на тип катионов, которые могут занимать интерстиции. Одним из критериев, определяющих координацию конкретного катиона в структуре с плотнейшей упаковкой, служит отношение радиусов.
Положения интерстициальных позиций в структурах с плотнейшей упаковкой. Элементарные ячейки двух типов структур с плотнейшей упаковкой показаны на рис. 3.3. Прежде чем приступить к рассмотрению структур с различными атомами, занимающими интерстициальные позиции, мы должны определить положение этих позиций в элементарной ячейке и установить число позиций каждого типа. На рис. 3.3,б видно, что в каждой элементарной ячейке структуры с гексагональной плотнейшей упаковкой содержатся два атома (заметим, что каждый из атомов, расположенных в углах ячейки, принадлежит восьми соседним ячейкам). Следовательно, в этой элементарной ячейке должно быть всего четыре тетраэдрические позиции и две октаэдрические. Их положения, так же как и другие детали структуры, лучше всего видны на моделях, построенных из шаров и спиц. На рис. 3.4 изображен больший участок этой структуры, на котором отмечено расположение интерстициальных позиций.

В кубической элементарной ячейке с кубической плотнейшей упаковкой имеются четыре плотноупакованных атома и, следовательно, восемь тетраэдрических и четыре октаэдрические интерстициальные позиции. Изображать все их на рисунке слишком громоздко, и поэтому на рис. 3.5 показано положение только одной позиции каждого типа.
Число интерстициальных позиций относительно числа атомов плотнейшей упаковки в этих структурах имеет значение, когда мы рассматриваем отношения катион/анион в структурах, где плотнейшая упаковка образована анионами, а интерстициальные позиции заняты катионами.