Условия прочности скальных и полускальных пород

Разрушение горных пород происходит тогда, когда внешние усилия превышают внутренние силы в породе. При предельных состояниях внутренние силы уравновешивают внешние и разрушений породы, так же как и значительных опасных деформации, при этом еще не происходит. Для того чтобы выявить роль этих внутренних сил, в механике горных пород рассматривают действие внешних сил по отношению к любой, произвольно выбранной площадке — сечению внутри породы. Действие любой силы на такую площадку можно разложить на две составляющие: нормальную к площадке и касательную к ней. Общая, нормальная и касательная силы, отнесенные к площадке размером в единицу площади, соответственно называют общим а, нормальным он и касательным т напряжениями (рис. III-11).
Нормальное и касательное напряжения, действующие в данной точке элементарной площадки, ориентированной в пространстве, определяют прочность и устойчивость породы в этой точке. При нагружении породы и при ее деформации в каждой ее точке можно выделить элементарный объем, на три взаимно перпендикулярные грани которого, как на элементарные площадки, действуют только нормальные напряжения, а касательные отсутствуют (рис. III-12). Эти три нормальных напряжения достаточны для того, чтобы составить характеристику напряженного состояния породы в данной точке. Такие нормальные напряжения называют главными н обозначают их соответственно о1, о2 и о3. Направления, по которым действуют главные напряжения, называют главными осями напряжений. В однородных породах они одновременно являются и главными осями деформаций. В неоднородных породах направление главных осей деформаций меняется от точки к точке. Главные нормальные напряжения в общем случае различаются между собой по величине. Выделяют главные напряжения максимальные, промежуточные и минимальные, т. е. о1 > о2 > о3.
Если два главных напряжения равны нулю, а действует одно главное напряжение, то будет иметь место одноосное, или линейное, напряженное состояние. Соответственно может иметь место двухосное напряжение, действующее в плоскости, и трехосное, развивающееся в объеме, — объемное напряженное состояние (рис. III-13).

Горные породы в условиях естественного залегания обычно находятся в объемном напряженном состоянии, развивающемся под влиянием веса вышележащих масс (гравитационных сил) и тектонических сил, в меньшей мере температурных градиентов и др.

На рис. III-14 видно, что если на поверхность горизонтального сечения какого-то объема горных пород площадью F действует равномерно распределенная нагрузка Р, то нормальное в этом сечении напряжение он является одновременно главным и равно


Площадь любого другого сечения, наклонного к горизонту под углом а, равна


а составляющие силы Р, ориентированные нормально и по касательной к этому сечению, соответственно равны


тогда нормальные и касательные напряжения при рассматриваемом одноосном напряженном состоянии равны
Угол a, равный О, принято называть углом отклонения полного напряжения о1 от нормали к площадке F1.

Из этих уравнений следует:

1. Нормальное напряжение достигает максимального значения в сечении, по отношению к которому сжимающее (растягивающее) усилие P направлено перпендикулярно, так как при а = 0 cos2 а = 1. В этом случае нормальное напряжение является главным, т. е. действующим по главной оси: (он)mах = о1.

При всех других значениях угла а (от 0до 90°) cos2 а меньше единицы.

2. Касательное напряжение достигает максимального значения при такой ориентировке сечения, когда угол а между нормалью к сечению и направлением полного сжимающего (растягивающего) усилия равен 45°. В этом случае sin2а = 1 и


Угол а равен наибольшему углу отклонения — 0max. При всех других значениях угла a sin 2а меньше единицы.

Таким образом, в объеме горной породы в наиболее неблагоприятном состоянии находятся сечения, по отношению к которым действующее усилие направлено по нормали или под углом, близким к 45°, т. е. сечения, в которых действуют максимальные нормальное и касательное напряжения. Вот почему наибольшая деформация пород при сжатии наблюдается в направлении действия усилия, а трещины скола возникают вдоль сечений, образующих с направлением действующего усилия угол, близкий к 45°, т. е. близкий к углу 0max.

Деформации или разрушения горной породы развиваются в первую очередь в указанных направлениях, причем только в тех случаях, когда внешние силы больше внутренних сил породы. Если внутренние силы породы равны напряжениям, вызванным внешними усилиями, то порода находится в предельном напряженном состоянии, т. е. в состоянии, непосредственно предшествующем ее разрушению или значительным деформациям.

На рис. III-15, а показано действие напряжений по сечению А—Б блока породы. Рис. III-15, б иллюстрирует отдельно действующие нормальные и касательные напряжения. На этих рисунках видно, что нормальные напряжения он производят сжатие блока в нормальном направлении к сечению А—Б, а касательные оказывают сдвигающее действие вдоль этого сечения. В геологии принято считать сжимающие напряжения положительными (+), а растягивающие отрицательными (-).
При двухосном напряженном состоянии главные напряжения могут быть одноименными (положительными пли отрицательными) и разноименными (одно положительное, второе отрицательное). Максимальное нормальное напряжение действует по сечению, перпендикулярному к направлению максимальной сжимающей или растягивающей силы. Максимальное касательное напряжение действует вдоль сечения, расположенного под углом 45° к направлению действия главных напряжений. Максимальное касательное напряжение для двухосного сжатия и растяжения равно


Нормальные и касательные напряжения, действующие в данной точке площадки, определенно ориентированной в пространстве, в условиях плоского или объемного напряженного состояния могут быть определены также графически, с помощью диаграммы Мора (рис. III-16). На этой диаграмме сжимающие (положительные) напряжения отложены по оси абсцисс вправо от начала координат, а касательные — по оси ординат кверху от начала координат. По оси абсцисс лежат только главные напряжения o1, o2 и o3, так как по оси главных напряжений касательные напряжения равны нулю.
Для того чтобы определить напряжения oн и т, действующие по какой-либо площадке А—В, наклонной под углом а к плоскости I—I главных напряжений, по оси абсцисс откладывают значения главных напряжений о1 и о3 и на их разности, как на диаметре, строят круг («круг напряжений», или «круг Мора»), центр которого С лежит на середине расстояния между точками А—D. При точке С, отложив угол 2а, получим точку В, координаты которой OK и BK соответственно равны он и т. Из рис. III-16 следует


Из прямоугольного треугольника BKC имеем
Следовательно, абсцисса точки В круга дает нормальную, а ордината — касательную составляющие напряжения.

Круг напряжений Мора является геометрическим местом точек, координаты которых равны нормальным и касательным напряжениям, действующим по площадкам, лежащим вне плоскости, где имеют место главные напряжения. Ординаты и абсциссы точек, лежащих по кругу, соответствуют значениям нормальных и касательных напряжений для различно ориентированных площадок в данной точке. Для этих площадок изменяется соотношение между напряжениями он и т в соответствии с изменением угла 0. Если этот угол достигнет наибольшего значения, то в данной точке наступит предельное равновесие, Т. в. 0 = 0max.

Круги напряжений строят для значений о1 и о3, удовлетворяющих условиям предельного равновесия, поэтому их называют предельными. С их помощью определяют угол наибольшего отклонения для решения вопроса о равновесии породы в данной точке. На каждом из предельных кругов напряжений (рис. III-17) ординаты точек В, В' и В" равны предельным касательным напряжениям в момент, непосредственно предшествующий разрушению породы при соответствующих сжимающих нормальных напряжениях. Если к предельным кругам напряжений провести касательную (огибающую), то она образует с осью абсцисс угол ф = 0max, а на оси ординат отсечет отрезок
С.В соответствии с условием предельного равновесия точки В, В' и B" должны находиться на этой касательной, уравнение которой имеет вид


Это уравнение было дано французским физиком Кулоном в XVIII в. Оно выражает линейную зависимость сопротивления горных пород сдвигу от нормальной нагрузки, т. с. одну из важнейших закономерностей их механических свойств — прочность. В механике горных пород уравнение Кулона рассматривают как математическое выражение зависимости т от он. Величины ф и С в нем являются параметрами прочности горных пород; С характеризует наличие и прочность структурных связей, т. е. действие сил сцепления, или просто сцепление, в мегапаскалях, а ф — интенсивность роста сопротивления сдвигу (скалыванию) породы с увеличением нормальной нагрузки, т. е. ее внутреннее трение. Угол ф условно называют углом внутреннего трения, a tg ф — коэффициентом внутреннего трения.

Из рис. 111-17 следует, что
Это уравнение имеет важное значение в теории механики горных пород, так как выражает зависимость ф от главных напряжений в момент предельного равновесия горной породы.

На рис. III-17 также видно, что направление AB определяет направление площадки, по которой в данной точке при предельном состоянии может произойти скалывание (сдвиг) породы, ее разрушение. Эта площадка скалывания (скольжения) образует угол а с направлением площадки, по которой действует большое главное напряжение. Так как угол 2а = 90° + ф, то а = 45° + ф/2, следовательно, в условиях предельного напряженного состояния «площадка скалывания» будет наклонена под углом 45°+ф/2 к направлению площадки наибольшего главного напряжения. В каждой точке предельно напряженной породы таких площадок может быть две. Сопряженные площадки расположены под углом 45°±ф/2.
Если на элементарный объем горной породы действуют только главные напряжения, не равные между собой, т. е. o1>o2>о3, то диаграмма напряжении будет иметь вид, показанный на рис. III-18. Из этой диаграммы видно, что


Для любого сечения, наклонного к осям главных напряжений, составляющие напряжений будут равны ординате и абсциссе в точках, расположенных в заштрихованной части диаграммы, а максимальное касательное напряжение
При объемном напряженном состоянии, когда о1 = о2 = о3, круги диаграммы напряжений превращаются в точку на оси абсцисс, а касательные напряжения при таком гидростатическом состоянии в любом сечении будут равны нулю.