Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.02.2021


16.02.2021


14.02.2021


13.02.2021


05.02.2021


02.02.2021


01.02.2021


01.02.2021


01.02.2021


30.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Ёмкость Минковского

Ёмкость Минковского

04.02.2021

Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.

Определение

Пусть ( X , μ , d ) {displaystyle (X,mu ,d)} метрическое пространство с мерой, где d {displaystyle d} является метрикой на X {displaystyle X} , а μ {displaystyle mu } — это борелевская мера. Для подмножества A {displaystyle A} в X {displaystyle X} и вещественного ε > 0, обозначим через

A ε = { x ∈ X | d ( x , A ) < ε } {displaystyle A_{varepsilon }={xin X,|,d(x,A)<varepsilon }}

его замкнутую ε {displaystyle varepsilon } -окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности k {displaystyle k} определяется как нижний предел

M ∗ ( A ) = lim inf ε → 0 μ ( A ε ) − μ ( A ) ε k , {displaystyle M_{*}(A)=liminf _{varepsilon o 0}{frac {mu (A_{varepsilon })-mu (A)}{varepsilon ^{k}}},}

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности k {displaystyle k} как верхий предел

M ∗ ( A ) = lim sup ε → 0 μ ( A ε ) − μ ( A ) ε k . {displaystyle M^{*}(A)=limsup _{varepsilon o 0}{frac {mu (A_{varepsilon })-mu (A)}{varepsilon ^{k}}}.}

Если M ∗ ( A ) = M ∗ ( A ) {displaystyle M^{*}(A)=M_{*}(A)} , то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности k {displaystyle k} A по мере μ, и обозначается M ( A ) {displaystyle M(A)} .

Свойства

  • Если A {displaystyle A} есть замкнутое n {displaystyle n} -спрямляемое множество в R n + k {displaystyle mathbb {R} ^{n+k}} , то ёмкость Минковского A {displaystyle A} по отношению к объёму на R n + k {displaystyle mathbb {R} ^{n+k}} существует и совпадает с его n {displaystyle n} -мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.