Примарная абелева группа

p {displaystyle p} -примарная абелева группа (где p {displaystyle p} — фиксированное простое число) — абелева группа ( A , + ) {displaystyle (A,+)} , такая что порядок любого элемента из A {displaystyle A} является степенью p {displaystyle p} .

Примеры

( Z p n , + ) {displaystyle (mathbb {Z} _{p^{n}},+)} — аддитивная группа классов вычетов по модулю p n {displaystyle p^{n}} ;
( Z p [ x ] , + ) {displaystyle (mathbb {Z} _{p}[x],+)} — аддитивная группа кольца многочленов над полем Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} .

Свойства

Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму p {displaystyle p} -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа ( A , + ) {displaystyle (A,+)} называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный p {displaystyle p} .

Абелева группа A {displaystyle A} является p {displaystyle p} -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} .

p {displaystyle p} -высотой элемента a ∈ A {displaystyle ain A} называется наименьшее натуральное число n {displaystyle n} , такое что a ∈ n A {displaystyle ain nA} . Если такого натурального n {displaystyle n} не существует, то элемент a {displaystyle a} имеет бесконечную p {displaystyle p} -высоту.

Критерий Куликова: p {displaystyle p} -примарная абелева группа A {displaystyle A} является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда A {displaystyle A} есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

A 1 ⊆ A 2 ⊆ … ⊆ A n ⊆ … , ⋃ i = 1 ∞ A i = A {displaystyle A_{1}subseteq A_{2}subseteq ldots subseteq A_{n}subseteq ldots ,;igcup limits _{i=1}^{infty }A_{i}=A} ,

где p {displaystyle p} -высоты ненулевых элементов подгрупп A i {displaystyle A_{i}} меньше фиксированного элемента k n {displaystyle k_{n}} .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

Первая теорема Прюфера: Ограниченная p {displaystyle p} -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
Вторая теорема Прюфера: Счетная p {displaystyle p} -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной p {displaystyle p} -высоты.