Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




20.04.2021


14.04.2021


14.04.2021


13.04.2021


13.04.2021


09.04.2021





Яндекс.Метрика

Гипотеза Эрдёша — Бура

09.03.2021

Гипотеза Эрдёша-Бура — математическая проблема, касающаяся числа Рамсея на разреженных графах. Гипотеза названа в честь Пола Эрдёша и Стефана Бура. Гипотеза утверждает, что число Рамсея в любом семействе разреженных графов должно иметь почти линейный рост в зависимости от числа вершин графа.

Эта гипотеза была полностью доказана Choongbum Lee в 2017 году (и таким образом теперь она является теоремой)

Определения

Если G — неориентированный граф, то вырожденность G — это минимальное число p, такое, что любой подграф G содержит вершину степени p или меньше. Граф A c вырожденностью p называется p-вырожденным. p-вырожденность графа можно определить также как возможность свести граф к пустому путём последовательного удаления вершин степени p и меньше.

Из теоремы Рамсея следует, что для любого графа G существует такое целое r ( G ) {displaystyle r(G)} , называемое числом Рамсея для G, что любой полный граф с не менее чем r ( G ) {displaystyle r(G)} вершинами, рёбра которого выкрашены в красный и синий цвета, содержит монохромную копию графа G. Например, число Рамсея для треугольника равно 6: независимо от того, каким образом раскрашены рёбра полного графа из шести вершин в красный и синий цвета, всегда найдётся красный или синий треугольник.

Гипотеза

В 1973 году Пол Эрдёш и Стефан Бур высказали следующую гипотезу:

Для любого целого p существует константа cp, такая, что любой p-вырожденный граф G на n вершинах имеет число Рамсея, не превышающее cp n.

Таким образом, если граф G с n вершинами является p-вырожденным, то монохроматическая копия графа G должна существовать в любом окрашенном двумя цветами графе с cp n вершинами.

Промежуточные результаты

До того как гипотеза была полностью доказана, она была доказана в некоторых частных случаях, так, доказательство гипотезы для графов с ограниченной степенью вершин приведено в статье Хватала, Рёдля, Семереди и Троттера. Их доказательство приводит к очень большому значению cp. Константа была улучшена в статье Нэнси Итон (Nancy Eaton) и в статье Рональда Грэма (Ronald Graham).

Известно, что гипотеза верна для p-ограниченных графов, которые включают в себя графы с ограниченной максимальной степенью вершин, плоские графы и графы, не содержащие расщепления Kp (здесь под расщеплением понимается операция, обратная стягиванию, то есть замена дуги на две дуги с добавлением вершины).

Известно, что гипотеза верна для расщепленных графов, то есть графов, у которых никакие две соседние вершины не имеют степень, большую двух.

Для произвольного графа известно, что число Рамсея ограничено функцией, которая растет слегка сверхлинейно. А именно, Фокс и Судаков показали, что существует константа cp, такая, что для любого p-вырожденного графа G с n вершинами

r ( G ) ⩽ 2 c p log ⁡ n n . {displaystyle r(G)leqslant 2^{c_{p}{sqrt {log n}}}n.}